3.3. Спектральный анализ огибающей

Механизм формирования колебательных сил во многих узлах вращающегося оборудования является нелинейным, поэтому силы достаточно часто, особенно при наличии в узлах дефектов, пред­ставляют собой аддитивно-мультипликативную смесь стационар­ных компонент, каждая из которых может содержать как периоди­ческие, так и стационарные случайные составляющие. В качестве примера можно привести колебательные силы в нагруженных подшипниках качения, электромагнитные силы в электрических машинах и многие другие.

При спектральном анализе вибрации, возбуждаемой такими силами, теряется значительный объем информации, содержа­щейся в характеристиках каждой из компонент, входящих в произ­ведение. Поэтому при решении диагностических задач до прове­дения операций спектрального анализа необходимо решить задачу выделения той из компонент произведения, которая несет в себе максимальный объем информации. В модулированных сиг­налах вибрации чаще всего такой компонентой является модули­рующая, а параметрами модулируемой (несущей) компоненты, как правило, можно пренебречь.

Формирование огибающей сигнала во времени является наи­более эффективным способом выделения модулирующей компо­ненты в тех случаях, когда спектральный состав модулирующей и несущей компонент различен и не пересекается в частотной об­ласти, т.е. частотная область несущей много выше частотной об­ласти модулирующей компоненты. В вибрационной диагностике, как правило, рассматриваются два основных случая, когда обе компоненты периодические и когда одна из них является стацио­нарным случайным процессом.

Кроме спектрального анализа огибающей сигнала во времени существуют методы анализа еще одной огибающей – огибающей спектра сигнала в частотной области. И здесь могут использо­ваться спектральные методы анализа огибающей путем замены оси частот на ось «времени». Но такой анализ носит уже другое название и является одним из видов кепстрального анализа сигна­лов. Особенности такого вида анализа вибрации будут рассмот­рены отдельно.

На первых этапах развития вибрационной диагностики спек­тральный анализ огибающей вибрации использовался для опре­деления частот и амплитуд гармонических составляющих, имею­щих близкие частоты, не позволяющие разделить эти составляющие в спектре сигнала вибрации из-за ограниченной разрешающей способности анализаторов [23]. Для этого обе со­ставляющие выделялись из сигнала вибрации полосовым фильт­ром, затем детектировались с помощью линейного детектора, и только после этого проводился спектральный анализ низкочастот­ной части полученного сигнала биений. К сожалению, случаи с биением двух близких гармонических составляющих и амплитуд­ной модуляцией одной гармонической составляющей малой часто­той дают при таком анализе одинаковые результаты. На рис.41 приведена форма сигналов с аддитивными составляющими вида

(49)

и с мультипликативными составляющими вида

(50)

Рис.41. Форма вибрации в виде сумм двух гармонических составляющих и одной гармонической составляющей, модулированной по амплитуде малой частотой (а), их спектры (б), и спектры огибающей (в)

Там же приведены совпадающая форма огибающей этих сиг­налов, а также спектры сигналов, в которых присутствует разное количество составляющих, и спектры огибающей этих сигналов, которые совпадают между собой.

С появлением цифровых спектральных анализаторов, обла­дающих высокой разрешающей способностью по частоте, диагно­сты стали отказываться от анализа спектров огибающей тех муль­типликативных компонент вибрации, в которых обе компоненты являются строго периодическими. На практике такой вид анализа еще иногда используется при диагностике подшипников качения насосов и других потокосоздающих машин, с целью обнаружения модуляции наиболее сильных составляющих вибрации на гармо­никах частоты вращения рабочего колеса более низкими модули­рующими частотами, например частотой вращения сепаратора. Основанием является то, что в низкочастотной вибрации машин подобного типа присутствуют значительные случайные компо­ненты, затрудняющие обнаружение в спектре слабых боковых со­ставляющих у вибрации на частоте вращения ротора.

На следующих этапах развития диагностики спектральный анализ огибающей вибрации стал использоваться для исследова­ния ударных импульсов, возбуждающих вибрацию в дефектных подшипниках качения. Первыми спектры огибающей ультразвуко­вой вибрации подшипников стали исследовать специалисты США [24]. Пример формы сигнала ультразвуковой вибрации, возбуж­даемой ударными импульсами, и спектра его огибающей приведен на рис.42.

a

б

Рис. 42. Форма ультразвуковой вибрации подшипника качения и спектр ее огибающей ( - циклическая частота)

Несколько позднее аналогичный вид анализа, но уже вибрации ударного происхождения на резонансных частотах деталей под­шипника, стали применять датские специалисты [25].

В обоих случаях для анализа огибающей подшипниковой виб­рации не требовалось принимать специальных мер по предвари­тельному выделению из сигнала вибрации мультипликативных компонент одной природы. В ультразвуковой области частот виб­рация ударного происхождения в неподвижных деталях подшип­ника на несколько порядков выше вибрации другой природы. Вы­сокая добротность резонансов колебательной системы, состоящей из контактируемых деталей подшипника, часто приводит к тому, что при наличии дефектов в подшипнике его собственные колеба­ния доминируют в сигнале высокочастотной и (или) среднечастот­ной вибрации. В результате вибрация ударного происхождения как на ультразвуковых частотах, так и на собственных частотах под­шипника, обнаруживается даже визуально, по форме сигнала. Анализ формы доминирующей компоненты сигнала подшипнико­вой вибрации всегда проще ее спектрального анализа, причем время накопления сигнала в первом случае составляет всего 2–3 периода вращения вала. Вот почему спектральный анализ оги­бающей вибрации, возбуждаемой ударными импульсами в под­шипниках качения, не нашел широкого применения. Тем более что ударные импульсы возникают в подшипниках качения далеко не при всех потенциально опасных дефектах.

Качественный сдвиг в использовании методов спектрального анализа огибающей случайной вибрации произошел после того, как российские специалисты стали его использовать для анализа вибрации, возбуждаемой силами механического, аэродинамиче­ского и гидродинамического трения [2], [8], [9]. Они же предложили и математическую модель амплитудно-модулированных случай­ных сигналов, позволяющую количественно оценивать результаты анализа спектра огибающей случайной вибрации.

Амплитудно-модулированный случайный сигнал можно пред­ставить в виде:

(51)

где и – модулирующая и стационарная случайная составляющие вибрации соответственно.

Простейшая модулирующая функция имеет вид , где m – глубина модуляции, а – круговая частота модуляции. Тогда сигнал x(t) принимает вид:

(52)

Практически важным является случай, когда - высокочас­тотная стационарная случайная составляющая вибрации, эффек­тивная полоса которой .

Для спектрального анализа огибающей в этом случае необхо­димо последовательно выделить из сигнала составляющие вибра­ции в интересующей полосе частот, сформировать их огибающую и выполнить спектральный анализ сформированного сигнала. По­скольку огибающая сигнала вибрации отображает процесс флук­туаций его мощности во времени, в выделенную часть сигнала не должны попадать сопоставимые по мощности составляющие раз­ной природы. Выполнение этого требования является сложной практической задачей. При выборе полосы частот сигнала, выде­ляемой для последующего формирования огибающей, спектраль­ная плотность сигнала в пределах этой полосы не должна слиш­ком сильно (более 10 раз) изменяться. На рис.43 приведен спектр сигнала вибрации подшипникового узла машины, где показаны по­лосы частот, рекомендуемые для формирования огибающей

Рис.43. Спектр вибрации подшипникового узла с указанными на нем рекомендуемыми полосами частот (1,2) фильтра детектора огибающей

Формирование огибающей выделенной части сигнала может осуществляться электронным устройством в виде линейного де­тектора огибающей и фильтра низких частот, а при цифровом ана­лизе сигналов – соответствующей модификацией преобразования Гильберта.

Так, мгновенная мощность сигнала на выходе полосового фильтра с эффективной шириной равна , где – спектральная плотность сигнала на входе фильтра. Среднее значение сигнала на выходе фильтра равно нулю. У сигнала на выходе линейного детектора в момент времени t среднее значение отлично от нуля и связано со значением мгновенной мощности входного сигнала выражением

(53)

Если медленно изменяющаяся модулирующая функция является детерминированной, т.е. содержит ряд гармонических составляющих

(54)

то в сигнале на выходе детектора появляются как постоянная со­ставляющая, равная , так и гармонические составляющие вида

(55)

Кроме указанных гармонических составляющих модулирующей функции на выходе линейного детектора присутствуют и интенсив­ные случайные составляющие модулируемого случайного сигнала. Их спектральная плотность на низких частотах равна [9]

(56)

При спектральном анализе низкочастотной части огибающей случайной вибрации с разрешающей способностью в каждой полосе частот анализатора будет составляющая со среднеквадратичным значением

(57)

Если случайный сигнал на выходе модулирован гармонической функцией с глубиной модуляции m и частотой модуляции , то в спектре огибающей на частоте среднеквадратическое значение сигнала вырастет до величины

(58)

где – отношение сигнал/помеха в полосе частот анализатора с центральной частотой .

Из отношения определяется глубина модуляции m слу­чайной вибрации на частоте .

(59)

Во многих практических случаях высокочастотная случайная вибрация измеряется пьезоэлектрическим датчиком виброускоре­ния не в линейных, а в логарифмических единицах. Соответст­венно и спектры огибающей вибрации часто измеряются в деци­белах, а глубина модуляции случайной вибрации определяется по разности уровней гармонической составляющей спектра огибаю­щей и среднего уровня случайной составляющей в соответствии с выражением

(60)

Выражение (53) перестает действовать в том случае, когда в полосу частот фильтра детектора огибающей попадают интенсивные гармонические составляющие. Так, на рис.44 приве­дены спектры огибающей вибрации для двух случаев, когда в полосу частот попадает одна гармоническая составляющая равной мощности и две составляющие близкой частоты, каждая мощностью 25% от мощности случайной вибрации. В первом случае результаты измерения глубины модуляции вибрации падают в 2 раза, а во втором в спектре огибающей появляются две составляющие, одна из которых (на частоте ) определяется модуляцией случайной вибрации, а другая (на частоте ) определяется бие­нием двух гармонических составляющих, попадающих в полосу частот фильтра детектора огибающей.

а	б
в	г
Рис. 44. Спектры огибающей случайной вибрации при отсутствии гармонической модуляции (а), с гармонической модуляцией частотой (б), с той же гармонической модуляцией при наличии в полосе фильтра детектора огибающей одной гармонической составляющей (в) и двух составляющих с близкими частотами и , () (г)

Для исключения возможных ошибок при анализе огибающей случайной вибрации необходимо перед измерением убедиться в том, что в полосе частот фильтра детектора огибающей нет интен­сивных гармонических или узкополосных случайных составляющих и нет сильного спада (подъема) спектральной плотности иссле­дуемой случайной вибрации (см. рис.43). Если в спектре сигнала вибрации невозможно выделить полосу частот, удовлетворяющую этим требованиям, необходимо принять специальные меры по разделению гармонических и случайных составляющих, чаще всего по подавлению гармонических составляющих в сигнале виб­рации [3], [26].

Процедура подавления гармонических составляющих в сиг­нале достаточно сложна и предполагает использование (построе­ние) фильтров-пробок на частотах наиболее интенсивных гармо­нических составляющих. При цифровом анализе сигналов такая операция возможна на достаточно длинном отрезке сигнала и в два этапа. На первом производится спектральный анализ сигнала с высоким частотным разрешением и определяются частоты наи­более сильных гармонических составляющих, а на втором этапе строятся импульсные характеристики фильтров-пробок и эти со­ставляющие отфильтровываются из сигнала.

При анализе сигналов вибрации в дискретной форме, как пра­вило, используются цифровые методы формирования огибающей их случайных составляющих. Цифровой детектор огибающей, как и его электронный аналог, может включать в себя последователь­ные операции полосовой фильтрации, линейного детектирования выделенных компонент и фильтрации низкочастотной части сиг­нала на выходе детектора. Однако при детектировании образу­ются интенсивные высокочастотные компоненты сигнала в об­ласти высших гармоник центральной частоты полосового фильтра, причем частота некоторых интенсивных гармоник может оказаться выше половины частоты дискретизации fд и они могут исказить низкочастотную часть сигнала за счет «отражения» от частотной границы fд/2.

Следующий метод построения огибающей основан на преоб­разовании Гильберта, устанавливающем во временной и частот­ной областях связь между вещественной и мнимой частями одно­стороннего сигнала, определяемого при t>= 0 и равного нулю при t < 0.

Сопряженный по Гильберту сигнал определяется вы­ражением

(61)

где – независимая переменная, и являются вещественными сигналами, а огибающая сигнала определяется выражением

(62)

Интеграл (61) или соответствующая ему сумма для дискрет­ного сигнала рассчитывается достаточно сложно, поэтому вместо него в дискретном виде часто используется прямое и обратное преобразование Фурье (FFT-преобразование). Дело в том, что преобразование (61) представляет собой свертку двух функций, т.е.

(63)

которая в частотной области эквивалентна перемножению спек­тров этих функций. С учетом спектра функции 1/t, преобразование эквивалентно умножению на j каждого значения в спектре сигнала x(t), т.е. его повороту на .

Таким образом, в дискретном виде более удобно строить со­пряженный по Гильберту сигнал в соответствии с выражением

(64)

где и – соответственно прямое и обратное -преобразование.

Как уже отмечалось, перед формированием огибающей слу­чайной вибрации необходимо выделить случайные составляющие из измеряемого сигнала полосовым фильтром. Поскольку фильтр ограничивает частотный диапазон сигнала, нет необходимости проводить полное FFT-преобразование сигнала. Так как при фильтрации обычно формируется свертка сигнала с импульсной характеристикой h(t) фильтра, можно построить вторую, сопряжен­ную по Гильберту импульсную характеристику и делать параллельно две свертки сигнала. В этом случае огибающая сиг­нала в любой момент времени рассчитывается по формуле (62) из определяемых этими свертками значений сигналов на выходе двух фильтров в тот же момент времени.

Наконец, для того чтобы работать не с полосовыми фильт­рами, а с более простыми фильтрами низких частот, достаточно дискретный отрезок сигнала после антиалайзингового фильтра умножить на (в тригонометрическом виде на ), что соответствует переносу сигнала в частотной области на час­тоту f₀.

В этом случае центральная частота фильтра f₀ соответствует f₀= 0 в преобразованном сигнале и импульсные характеристики фильтров h(t) и существенно упрощаются.